QUESITO N° 5

QUESITO N° 4

SOLUZIONE QUESITO N° 3

QUESITO N°3

Dimostrare che la somma dei numeri dispari dall'unità ad un generico numero dispari è sempre
pari ad un quadrato perfetto.

SOLUZIONE DENISE ANGILICA

La dimostrazione di Denise, iniziata nel campo della matematica presenta nonostante ciò una sua finezza matematica, espressione di una costante ricerca di fusione tra aritmetica ed analisi.

Ideazione Dimostrazione

Denise Angelica

Formalizzazione Mendicelli

Primo teorema Denise cerca la soluzione

_____________________________________________________________________________________

Hp

a e b due quadrati perfetti consecutivi

con a > b

Ts

b – a = d

_____________________________________________________________________________________

Dimostrazione

a := n^2

b:=(n-1)^2

Consideriamo ora a - b= y

a-b=n^2 – (n-1)^2= y = 2n-1 (y = 2n-1 = generico numero dispari)

------------------------------------------------------------------------------------------

Quindi CVD il primo teorema è dimostrato

Semi soddisfatta.

Consideriamo ora la funzione f: y = 2n-1

Tale funzione è la generante dei numeri dispari se considerata in No

f(x”) > f(x’) poiché f’(x) >0 in No

Questo ci permette di dire che i numerici dispari generati sono consecutivi.

Per chi non fosse convinto di ciò si consideri le seguenti espressioni:

x^2 – (x-1)^2 = d’=2x-1

(x-1)^2 - (x-2)^2 = d” = 2x-3

d’- d” = 2

Se si considera x volte tale operazione si troveranno due d

tali che dx-dy = 3-1 =2 giungendo al primo numero dispari 1

Come sul dire il Prof Giulio Cesare Barrozzi

(Professore Ordinario di Analisi Matematica all'Università di Bologna)

di matematica dell’università di Trieste

“.. .. Ora armati di tali conoscenze ”

Costruiamo la seguente e dimostrante summa in verde:

a,b,c,z,n.... quadrati perfetti con a>b>c>z>n>0

d generico numero dispari.

A dsinistra del uguale nella somma i quadrati perfetti consecutivi inferiormente ad ( a ) si elidono tutti mentre a destra del uguale si sommano i numeri dispari da 1 ad un generico numero dispari.

CVD

SOLUZIONE MENDICELLI

Hp

2b+1 = Generico numero dispari

Con b Є No

Ts

Dalla "Formula Di Gauss":

La si corregge per il calcolo dei soli numeri dispari.

(q = quantità di numeri dispari da 1 a 2b+1)

Considerazioni sugli insiemi:

Nd:=(Sotto-Insieme finito dei numeri dispari)

Np:= (Sotto-Insieme finito dei numeri pari)

Sapendo che un generico sotto -insieme finito di N = Nd U Np e che card ( Np) = card (Nd) possiamo affermare che

card(N) = 2 card (Np)

Considerato un A [0; c] N

Cardinalità di Np in A : Se c è DISPARI card(Np) =card( Nd) = (c+1)/2

Se c è PARI card(Np) =card( Nd) = (c)/2

q = card(Nd)

Da tal discorso ne consegue che :

Sapendo che:

c = 2b+1

Ne consegue che:

C.V.D

Ideazione e dimostrazione Emanuele Mendicelli

QUESITO N° 2

Siamo tanti, altri tanti, la metà più uno e simo cento !
Ma quanti siamo???


Allora interpretiamo bene il testo, che in un quesito di tal genere simile ma impropriamente a quelli Diofantei, tale fase crea molti problemi .

Siamo tanti : x
Altri tanti : x
La metà + 1 : la metà (ma manca il complemento di specificazione o meglio è sottinteso ) che è della somma precedente.

Alcuni hanno avanzato l'idea che vi sia una somma del tipo (x+x)+x/2 +1
ma di solito ed anche in questo caso, l'operatore somma necessita di una specificazione.
In tal caso il testo doveva essere siamo tanti altri tanti più la metà ....ecc

Quindi (x+x)/2 +1 = 100 ne segue che siamo 99.

QUESITO N° 1

Quale condizione devono rispettare due numeri dispari consecutivi affinché la loro somma sia un quadrato perfetto??

Si considerano dunque due generici numeri dispari consecutivi.

d’ = 2b+1

d’’= d’+2= 2b+3

con d e b E a N

Prima di procedere nello svolgimento analizziamo la forma d = 2b+1

2b+1 in questa formula b viene detto “base del numero dispari”.

Detto ciò proseguiamo

d’ + d’’ = 4b+4

Poniamo ora la somma seguente ad un generico quadrato a^2 al fine di trovare la relazione risolvente

d’ + d’’ = 4b+4 = a^2

4 (b+1) = a ^2 affinché tale relazione abbia senso a = 2 radq(b+1)

b+1 > O sempre, poiché lavoriamo in N

la radq di b+1 presenta una sola determinazione.

Ma poiché stiamo lavorando in N la nostra cara radq(b+1) deve restituirci un base naturale, affinché la relazione precedente abbia senso

Ciò è possibile se è sole se b+1 è un quadrato perfetto.

Quindi la morale della favola è che la somma di due numeri dispari è un quadrato perfetto se è solo se la base dei numeri dispari più 1 è uguale ad un quadrato perfetto.

Ideazione e Dimostrazione Mendicelli