Soluzioni Pedro
QUESITO N°3

Le soluzioni o le dimostrazioni "Pedriane" presentano una caratteristica distintivo, l'essere sempre provviste da un ottimo tutorial introduttivo, che contiene tutte le formule e i concetti necessitanti alla dimostrazione o alla soluzione.
Irrisparmiabile la verifica numerica che accompagna ogni sua dimostrazione e\o soluzione.

Unica nel genere e fruibile ai più, abbraccia l'esperto come l'iniziato nella materia del sommo Gauss.

Pedro in una sua performance.

Come tutti sappiamo l'insieme dei numeri dispari positivi può essere considerato come l'insieme degli infiniti termini della progressione aritmetica di ragione 2 e primo termine 1.

Dimostriamo che la somma dei numeri dispari dall'unità ad un generico numero dispari è sempre pari ad un quadrato perfetto.

Ah... prima di ciò mettiamo alla luce un po' di formule prima di poterle ritenere campate per aria.

La progressione aritmetica vista come successione ricorsiva ci dice che l'n-esimo termine di essa è dato dalla somma del precedente con la ragione.

Indichiamo con
a(1) il primo termine della progressione, con
a(n) l'n-esimo termine ("a con n")
e con d la "ragione".

E' data quindi la seguente relazione:

a(2) = a(1) + d
a(3) = a(2) + d
... ...
... ...
a(n-1) = a(n - 2) + d
a(n) = a(n - 1) + d

Sommando membro a membro ed elidendo i termini in comune ai due membri e ricordando le le equazioni sono (n - 1) si ha:

a(n)= a1 + (n - 1)d (*)

Ricordiamo naturalmente che la nostra è una progressione aritmetica infinita, cioè:
è formata da infiniti termini.

Se consideriamo però un numero finito n di termini, la progressione può considerarsi "finita".

Dati due numeri r, s € N0 con r > s si ha:

a(r) = a(1) + (r - 1)d
a(s) = a(1) + (s - 1)d

Sottraendo alla prima la seconda si ha:

a(r)- a(s) = a(1)-a(1) + rd+d - rs - d

a(r) = a(s) + (r - s)d (#)

Dimostriamo ora che la somma di due termini equidistanti dagli estremi è uguale alla somma del primo e dell'ultimo termine.

In simboli:

a(1)+a(n) = a(1 + k) + a(n - k) (@)
con k € N e 0 < n =" 1" d =" a(1" class="blsp-spelling-error" id="SPELLING_ERROR_2">kd

applicando ora la (#)
con r = n ed s = n - k
a(n) = a(n - k)+ (n-n + k)d = a(n - k)+ kd

sommando membro a membro le due equazioni trovate si ha:
a(1)+a(n) = a(1 + k) + a(n - k)
come volevamo dimostrare.

Prendiamo ora la somma S dei primi n termini della successione.
S(n) = a(1)+ a(2)+ a(3)+....+ a(n - 2) + a(n - 1) + a(n)

Adesso per grazie alla proprietà commutativa dell'addizione riscriviamo la somma invertendo tutti gli addendi.

S(n) = a(n)+ a(n - 1)+ a(n - 2)+ .... + a(3)+ a(2)+ a(1)

Sommando membro a membro le due equazioni e, sempre per la proprietà commutativa, spostando l'ordine degli addendi si ha
2S(n) = a(1)+ a(n) + a(2)+ a(n-1) + a(3)+ a(n-2) +....+a(n-3)+ a(2) +a(n -1)+ a(2) +a(n)+ a(1)

Si nota che il secondo membro è formato da n coppie di elementi equidistanti dagli estremi.
Sappiamo però che la somma di due termini equidistanti dagli estremi vale a(1) + a (n).
Sostituendo e ricordando che il numero di coppie formatisi erano n otteniamo la seguente relazione.

2S(n) = [a(1) + a(n)]n
S(n) = { [a(1) + a(n)]n } / 2 (ç)

che è molto simile alla formula che scoprì Gauss da bambino.

Adesso che abbiamo tutte queste belle formulette belle e dimostrate passiamo alla dimostrazione vera e propria.

[ Inizio dimostrazione ]

Dobbiamo dimostrare che la S(n) = { [a(1) + a(n)]n } / 2 è un quadrato perfetto per ogni n intero positivo maggiore di 0.

Sostituendo la a(n)= a1 + (n - 1)d nella S(n) = { [a(1) + a(n)]n } / 2 si ha
S(n) = [a(1) + a(1)+ (n - 1)d ]n / 2
S(n) = [2a(1) + (n - 1)d ]n / 2

Sostituendo i nostri valori di a(1) e di d otteniamo:

S(n) = [2*1 + (n - 1)*2 ]n /2
S(n) = [2 + 2n - 2 ]n /2
S(n) = [2n]n /2
S(n) = n^2
Q.E.D.

NOTA:
Oltre aver dimostrato che la somma dei numeri dispari dall'unità ad un generico numero dispari è sempre
pari ad un quadrato perfetto abbiamo anche dimostrato che la somma dei primi n numeri dispari è proprio il quadrato di n.

Es.
con n = 5
S(5) = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 5^2
con n = 11
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 = 121 = 11^2

Beh... credo che sia soddisfacente.
Ciao